Ainsi, après, au plus, DEG (b) étapes, on obtenir un reste null, dire RK. D`autre part, la preuve de l`exactitude de l`algorithme est difficile, car il devrait prendre en compte toutes les possibilités pour la différence de degrés de deux restes consécutifs. Toutefois, il implique de simplifier un grand nombre de fractions d`entiers, et l`algorithme résultant n`est pas efficace. Dans l`algorithme, ce reste est toujours dans Z [X]. Le Pseudo-reste de la Pseudo-Division de deux polynômes dans Z [X] appartient toujours à Z [X]. Dans la section précédente, nous avons vu que le GCD des polynômes dans R [X] peut être déduit des MCG dans R et en F [X]. Cependant, comme il n`y a pas d`ordre total naturel pour les polynômes sur un domaine intégral, on ne peut pas procéder de la même manière ici. La différence par rapport à la division euclidienne des entiers est que, pour les entiers, le degré est remplacé par la valeur absolue, et que pour avoir l`unicité on doit supposer que r est non négatif. La séquence primitive du Pseudo-reste consiste à prendre pour α le contenu du numérateur. Le dernier reste non-zéro, fait Monic si nécessaire, est le GCD des deux polynômes.
En pratique, il n`est pas intéressant, car la taille des coefficients croît exponentiellement avec le degré des polynômes d`entrée. Ainsi, le calcul du polynôme GCD est essentiellement le même problème sur F [X] et sur R [X]. Comme défini, les colonnes de la matrice TI sont les vecteurs des coefficients de certains polynômes appartenant à l`image de φ i {displaystyle varphi _ {i}}. Si nous prenons i = (2) {displaystyle i = (2)} alors D/i {displaystyle D/i} est un anneau fini (pas un champ puisque je {displaystyle i} n`est pas maximal dans D {displaystyle D}). On peut prouver [4] que cela fonctionne à condition que l`on décarte les images modulaires avec un degré non minimal, et évite les idéaux que je modulo qui un coefficient de tête disparaît. Il est donc utile de les détecter et de les supprimer avant d`appeler un algorithme de recherche de racine. XB). Tout d`abord, leur définition par le biais de déterminants permet de délimitation, par l`inégalité Hadamard, la taille des coefficients de la GCD. Pour accélérer le calcul, prendre un anneau D pour lequel f et g sont en D [x], et de prendre un idéal je telle que D/i est un anneau fini. La résultante de P et Q est le déterminant de la matrice de Sylvester, qui est la matrice (carrée) de φ 0 {displaystyle varphi _ {0}} sur les bases des puissances de X. Le processus consiste à choisir α est une telle façon que chaque RI est un polynôme sous-résultante.
Laissez-nous désigner par P i {displaystyle {mathcal {P}} _ {i}} l`espace vectoriel K de la dimension i les polynômes de degré inférieur à i. Cependant, il exige de calculer un certain nombre de GCD dans Z, et donc n`est pas suffisamment efficace pour être utilisé dans la pratique, en particulier lorsque Z est lui-même un anneau polynôme. Deuxièmement, il est très similaire au cas des entiers, et cette analogie est la source de la notion de domaine euclidien. Notez que $ (x-1) | f (x) $ et $ (x-1) | g (x) $. De plus, q et r sont définis de manière unique par ces relations. La division euclidienne des polynômes, qui est utilisée dans l`algorithme d`Euclid pour le calcul des MCG, est très similaire à la division euclidienne des entiers. Supposons que F = Q (3) {displaystyle F = mathbb {Q} ({sqrt {3}})}, D = Z [3] {displaystyle D = mathbb {Z} [{sqrt {3}}]}, f = 3 x 3 − 5 x 2 + 4 x + 9 {displaystyle F = {sqrt {3}} x ^ {3}-5x ^ {2} + 4x + 9} et g = x 4 + 4 x 2 + 3 3 x − 6 {displaystyle g = x ^ { 4} + 4x ^ {2} + 3 {sqrt {3}} x-6}.